Karmati p. 343+

Présenté par Sam en 2022

Leçons : 112 - 221 - 222 - 223 - 319 - 415 - 432

Mots-clefs : géométrie plane, déterminant, trigonométrie, compacité, point critique.

Présentation : On se place dans le plan affine euclidien. Soit 𝒞1 et 𝒞2 deux cercles tangents extérieurement en 𝑂, centre du repère du plan affine euclidien. Soit 𝑀∈𝒞1 et 𝑁∈𝒞2.

Pour quels points, l'aire du triangle 𝑂𝑀𝑁 est-elle maximale ?

Bilan : joli développement sans grande difficulté joignant algèbre et analyse.

Illustration : Geogebra

ALG3 1.26

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 110 - 112 - 116 - 120 - 126 - 313 - 319

Mots-clefs : théorème du rang, déterminant, matrice symétrique, orthogonalité et produit scalaire, espace préhilbertien réel.

Présentation : Après un lemme autour de A, équivalente à Mat(F) et symétrique positive, on utilise les matrices de Gram pour calculer la distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel engendré. Deux applications suivent pour illustrer.

Bilan : classique, efficace et facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : Python

CVA p. 115+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 112 - 116 - 120 - 127 - 311 - 313 - 319 - 322

Mots-clefs : déterminant, formes quadratiques, rang et changements de bases, matrice symétrique réelle, classification, orthogonalité.

Présentation : Après démonstration d'un lemme faisant le lien entre définie positive et les mineurs principaux d'une matrice symétrique réelle, on calcule la signature de cette matrice.

Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA p. 20+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319 

Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.

Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.

Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

Obert p. 78 - Pulkowski p. 171+

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 112 - 114 - 115 - 123 - 301 - 315 - 319

Mots-clefs : produit matriciel, pivot de Gauss, déterminant, opérations élémentaires sur les matrices, algorithme

Présentation : Soit 𝑛 ≥ 2, 𝕂 = ℝ ou ℂ, 𝑖≠𝑗. On va montrer que :

• 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections 𝑇𝑖,𝑗(𝜆)=𝐼𝑛+𝜆𝐸𝑖,𝑗

• 𝐺𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections et de dilatations 𝐷𝑖(𝛼)=𝐼𝑛+(𝛼−1)𝐸𝑖,𝑖

On en déduira que 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est connexe par arcs.

Bilan : Pas de grande difficulté, plutôt facile à restituer en 15 minutes et intéressant pour les leçons visées.

Illustration : Python