Leçon 308
Exercices faisant intervenir des polynômes et fractions rationnelles.
Ketrane p. 217+, XALG3 2.27
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432
Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange
Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.
Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.
Illustration : Python
CVA (2019) p. 93+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 111 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 308 - 316 - 317 - 318 - 320 - 322
Mots-clefs : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes, nilpotence, orthogonalité, formes quadratiques.
Présentation : Soit 𝐸 un ℝ−𝑒𝑣 de dimension finie 𝑛∈ℕ∗ et 𝐴∈ℳ𝑛(ℝ) une matrice dont le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 est scindé.
On peut aussi considérer un ℂ−𝑒𝑣 auquel cas, le polynôme caractéristique est directement scindé par d’Alembert-Gauss.
Le critère de Klarès est une condition nécessaire et suffisante sur une égalité de noyaux pour que 𝐴 soit diagonalisable.
Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucun
Critère de Klarès (Julien).pdfLe critère de Klarès de diagonalisation
Analystan p. 202+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 108 - 209 - 214 - 308 - 416 - 434
Mots-clefs : polynômes, racines, Gram-Schmidt, orthogonalité, intégration, erreur, TVI, Taylors-Lagrange, Weierstrass
Présentation : Une première partie s'attache à présenter la méthode de quadrature de Gauss pour l'intégration. Dans la seconde partie, on cherche à majorer l'erreur faite comme dans tout procédé d'approximation d'intégrale. Pour terminer, il est possible de présenter une approximation de 𝜋, utilisant cette quadrature de Gauss.
Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu mais plutôt technique et difficile à restituer en 15 minutes.
Illustration : Python
CVA p. 20+
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319
Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.
Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.
Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.
Illustration : aucune
2024 Dev_Critère de Nilpotence par la trace (LD).pdf