Ketrane p. 217+, XALG3 2.27

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432

Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange

Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

Analystan p. 159+, CVA p. 145+

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 115 - 117 - 120 - 121 - 221 - 226 - 301 - 309 - 316 - 318 - 320 - 322 - 327 - 432

Mots-clefs : décomposition polaire, orthogonalité, compacité, valeurs propres, diagonalisation, norme matricielle, factorisation de matrices, linéarité et  bilinéarité

Présentation : Tout en travaillant sur de la topologie et sur la décomposition polaire, il s'agit ici de démontrer une inégalité de distance d'une matrice à un fermé. On s'intéressera également au cas d'égalité.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

Obert p. 78 - Pulkowski p. 171+

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 112 - 114 - 115 - 123 - 301 - 315 - 319

Mots-clefs : produit matriciel, pivot de Gauss, déterminant, opérations élémentaires sur les matrices, algorithme

Présentation : Soit 𝑛 ≥ 2, 𝕂 = ℝ ou ℂ, 𝑖≠𝑗. On va montrer que :

• 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections 𝑇𝑖,𝑗(𝜆)=𝐼𝑛+𝜆𝐸𝑖,𝑗

• 𝐺𝐿𝑛(𝕂) est engendré par les matrices de transvections et de dilatations 𝐷𝑖(𝛼)=𝐼𝑛+(𝛼−1)𝐸𝑖,𝑖

On en déduira que 𝑆𝐿𝑛(𝕂) est connexe par arcs.

Bilan : Pas de grande difficulté, plutôt facile à restituer en 15 minutes et intéressant pour les leçons visées.

Illustration : Python