CVA p. 52+

Présenté par Quentin en 2022

Leçons : 108 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 309 - 311 - 316 - 318

Mots-clefs : norme, diagonalisation, trigonalisation, densité, continuité, polynômes

Présentation : On va montrer que 𝒟𝑛(ℂ), l’ensemble des matrices carrées diagonalisables, est dense dans ℳ𝑛(ℂ) puis en déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton sur ℂ :

∀𝐴∈ℳ𝑛(ℂ), 𝜒𝐴(𝐴)=𝑂𝑛.

Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA (2019) p. 93+

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 111 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 308 - 316 - 317 - 318 - 320 - 322

Mots-clefs : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes, nilpotence, orthogonalité, formes quadratiques.

Présentation : Soit 𝐸 un ℝ−𝑒𝑣 de dimension finie 𝑛∈ℕ∗ et 𝐴∈ℳ𝑛(ℝ) une matrice dont le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 est scindé.
On peut aussi considérer un ℂ−𝑒𝑣 auquel cas, le polynôme caractéristique est directement scindé par d’Alembert-Gauss.
Le critère de Klarès est une condition nécessaire et suffisante sur une égalité de noyaux pour que 𝐴 soit diagonalisable.

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucun

CVA p. 45+

Présenté par Caroline en 2022

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 124 - 130 - 131 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 324 - 325

Mots-clefs : complexes, barycentres, réduction, convexité, suites de matrice et polygones.

Présentation : On va montrer que la suite de polygones où 

𝑧′𝑖 = 𝑎.𝑧𝑖 +𝑏.𝑧𝑖+1, avec 𝑎, 𝑏 ∈]0,1[ et 𝑎+ 𝑏 = 1

converge vers l'isobarycentre du polygone.

Bilan : un développement très rentable.

Illustration : Python

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

X-ENS Alg 2 p. 247

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 311 - 312 - 316 - 317 - 318 - 320

Mots-clefs : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, matrice nilpotentes, valeurs propres

Présentation : Soit 𝑛 ∈ ℕ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℂ).

On va montrer que exp(𝐴) = 𝐼𝑛, si et seulement si, 𝐴 est diagonalisable et 𝑆𝑝(𝐴) ⊂ 2𝑖𝜋ℤ.

Bilan : assez dense en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune