CVA p. 52+

Présenté par Quentin en 2022

Leçons : 108 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 309 - 311 - 316 - 318

Mots-clefs : norme, diagonalisation, trigonalisation, densité, continuité, polynômes

Présentation : On va montrer que 𝒟𝑛(ℂ), l’ensemble des matrices carrées diagonalisables, est dense dans ℳ𝑛(ℂ) puis en déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton sur ℂ :

∀𝐴∈ℳ𝑛(ℂ), 𝜒𝐴(𝐴)=𝑂𝑛.

Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

Analystan p. 202+

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 108 - 209 - 214 - 308 - 416 - 434

Mots-clefs : polynômes, racines, Gram-Schmidt, orthogonalité, intégration, erreur,  TVI, Taylors-Lagrange, Weierstrass

Présentation : Une première partie s'attache à présenter la méthode de quadrature de Gauss pour l'intégration. Dans la seconde partie, on cherche à majorer l'erreur faite comme dans tout procédé d'approximation d'intégrale.  Pour terminer, il est possible de présenter une approximation de 𝜋, utilisant cette quadrature de Gauss. 

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu mais plutôt technique et difficile à restituer en 15 minutes.

Illustration : Python

CVA p. 20+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319 

Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.

Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.

Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.

Illustration : aucune

Gourdon p. 58+, Kieffer p. 54

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 103 - 105 - 107 - 108 - 304 - 305 - 306 - 307

Mots-clefs : irréductibilité et factorialité, polynômes, pgcd, nombres premiers, structure quotient

Présentation : Après avoir démontré le Lemme de Gauss pour des polynômes, on montre que si 𝑃 = Σ𝑎𝑖𝑋^𝑖∈ℤ[𝑋] tel qu’il existe 𝑝 premier ∀ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛−1, 𝑝|𝑎𝑘 et 𝑝∤𝑎𝑛 et 𝑝^2∤𝑎0 alors 𝑃 est irréductible dans ℚ[𝑋]. On termine par une application.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.