Leçon 122
Endomorphismes trigonalisables et nilpotents. Applications.
CVA p. 52+
Présenté par Quentin en 2022
Leçons : 108 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 309 - 311 - 316 - 318
Mots-clefs : norme, diagonalisation, trigonalisation, densité, continuité, polynômes
Présentation : On va montrer que 𝒟𝑛(ℂ), l’ensemble des matrices carrées diagonalisables, est dense dans ℳ𝑛(ℂ) puis en déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton sur ℂ :
∀𝐴∈ℳ𝑛(ℂ), 𝜒𝐴(𝐴)=𝑂𝑛.
Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucune
CVA (2019) p. 93+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 111 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 308 - 316 - 317 - 318 - 320 - 322
Mots-clefs : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation, polynômes, nilpotence, orthogonalité, formes quadratiques.
Présentation : Soit 𝐸 un ℝ−𝑒𝑣 de dimension finie 𝑛∈ℕ∗ et 𝐴∈ℳ𝑛(ℝ) une matrice dont le polynôme caractéristique 𝜒𝐴 est scindé.
On peut aussi considérer un ℂ−𝑒𝑣 auquel cas, le polynôme caractéristique est directement scindé par d’Alembert-Gauss.
Le critère de Klarès est une condition nécessaire et suffisante sur une égalité de noyaux pour que 𝐴 soit diagonalisable.
Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucun
Le critère de Klarès de diagonalisation
CVA p. 20+
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319
Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.
Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.
Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.
Illustration : aucune
X-ENS Alg 2 p. 247
Présenté par Louis-Dominique en 2025
Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 311 - 312 - 316 - 317 - 318 - 320
Mots-clefs : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, matrice nilpotentes, valeurs propres
Présentation : Soit 𝑛 ∈ ℕ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℂ).
On va montrer que exp(𝐴) = 𝐼𝑛, si et seulement si, 𝐴 est diagonalisable et 𝑆𝑝(𝐴) ⊂ 2𝑖𝜋ℤ.
Bilan : assez dense en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucune
exp(A) = In