CVA p. 52+

Présenté par Quentin en 2022

Leçons : 108 - 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 309 - 311 - 316 - 318

Mots-clefs : norme, diagonalisation, trigonalisation, densité, continuité, polynômes

Présentation : On va montrer que 𝒟𝑛(ℂ), l’ensemble des matrices carrées diagonalisables, est dense dans ℳ𝑛(ℂ) puis en déduire une preuve du théorème de Cayley-Hamilton sur ℂ :

∀𝐴∈ℳ𝑛(ℂ), 𝜒𝐴(𝐴)=𝑂𝑛.

Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA p. 45+

Présenté par Caroline en 2022

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 124 - 130 - 131 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 324 - 325

Mots-clefs : complexes, barycentres, réduction, convexité, suites de matrice et polygones.

Présentation : On va montrer que la suite de polygones où 

𝑧′𝑖 = 𝑎.𝑧𝑖 +𝑏.𝑧𝑖+1, avec 𝑎, 𝑏 ∈]0,1[ et 𝑎+ 𝑏 = 1

converge vers l'isobarycentre du polygone.

Bilan : un développement très rentable.

Illustration : Python

CVA p. 5+, Kieffer p. 228

Présenté par Nicolas en 2022

Leçons : 110 - 111 - 116 - 123 - 311 - 313 – [320 - 327 polaire]

Mots-clefs : trace, dualité, rang, th. base incomplète, décomposition polaire, matrice inversible.

Présentation : On va montrer que tout hyperplan de ℳ𝑛(𝕂) contient au moins une matrice inversible ou orthogonale.

Bilan : assez large et adaptable en terme de contenu et plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

Analystan p. 250+, Ketrane p. 223+

Présenté par Caroline en 2022

Leçons : 113 - 117 - 118 - 121 - 201 - 311 - 312 - 314 - 316 - 318 - 402

Mots-clefs : probabilités totales, graphes, déterminant, valeurs propres et vecteurs propres.

Présentation : On veut déterminer l'état stable d'un graphe probabiliste modélisant des enfants qui jouent avec une balle

Bilan : plutôt facile à aborder et à restituer en 15 minutes.

Illustration : Python

CVA p. 115+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 112 - 116 - 120 - 127 - 311 - 313 - 319 - 322

Mots-clefs : déterminant, formes quadratiques, rang et changements de bases, matrice symétrique réelle, classification, orthogonalité.

Présentation : Après démonstration d'un lemme faisant le lien entre définie positive et les mineurs principaux d'une matrice symétrique réelle, on calcule la signature de cette matrice.

Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

CVA p. 122+ et 4+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 120 - 126 - 127 - 311 - 312

Mots-clefs : forme polaire, forme quadratique, orthogonalité, dimension finie, compacité, hyperplans

Présentation : Soit 𝐸 un espace euclidien et 𝑞 une forme quadratique sur 𝐸. Alors, il existe une base orthonormée de 𝐸, orthogonale pour 𝑞. On montrera ensuite comme application que tout hyperplan de ℳ𝑛(ℝ) contient au moins une matrice orthogonale.

Bilan : Un développement assez théorique, mais essentiel pour l'écrit et utile pour l'oral avec l'application.

Illustration : aucune.

X-ENS Alg 2 p. 247

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 311 - 312 - 316 - 317 - 318 - 320

Mots-clefs : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, matrice nilpotentes, valeurs propres

Présentation : Soit 𝑛 ∈ ℕ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℂ).

On va montrer que exp(𝐴) = 𝐼𝑛, si et seulement si, 𝐴 est diagonalisable et 𝑆𝑝(𝐴) ⊂ 2𝑖𝜋ℤ.

Bilan : assez dense en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune