Analystan p. 250+, Ketrane p. 223+

Présenté par Caroline en 2022

Leçons : 113 - 117 - 118 - 121 - 201 - 311 - 312 - 314 - 316 - 318 - 402

Mots-clefs : probabilités totales, graphes, déterminant, valeurs propres et vecteurs propres.

Présentation : On veut déterminer l'état stable d'un graphe probabiliste modélisant des enfants qui jouent avec une balle

Bilan : plutôt facile à aborder et à restituer en 15 minutes.

Illustration : Python

CVA p. 45+

Présenté par Caroline en 2022

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 124 - 130 - 131 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 324 - 325

Mots-clefs : complexes, barycentres, réduction, convexité, suites de matrice et polygones.

Présentation : On va montrer que la suite de polygones où 

𝑧′𝑖 = 𝑎.𝑧𝑖 +𝑏.𝑧𝑖+1, avec 𝑎, 𝑏 ∈]0,1[ et 𝑎+ 𝑏 = 1

converge vers l'isobarycentre du polygone.

Bilan : un développement très rentable.

Illustration : Python

Ketrane p. 217+, XALG3 2.27

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432

Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange

Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.

Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.

Illustration : Python

CVA p. 20+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319 

Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.

Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.

Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.

Illustration : aucune

CVA p. 30+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319

Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation

Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.

CVA p. 122+ et 4+

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 120 - 126 - 127 - 311 - 312

Mots-clefs : forme polaire, forme quadratique, orthogonalité, dimension finie, compacité, hyperplans

Présentation : Soit 𝐸 un espace euclidien et 𝑞 une forme quadratique sur 𝐸. Alors, il existe une base orthonormée de 𝐸, orthogonale pour 𝑞. On montrera ensuite comme application que tout hyperplan de ℳ𝑛(ℝ) contient au moins une matrice orthogonale.

Bilan : Un développement assez théorique, mais essentiel pour l'écrit et utile pour l'oral avec l'application.

Illustration : aucune.

X-ENS Alg 2 p. 247

Présenté par Louis-Dominique en 2025

Leçons : 117 - 118 - 119 - 121 - 122 - 311 - 312 - 316 - 317 - 318 - 320

Mots-clefs : diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, matrice nilpotentes, valeurs propres

Présentation : Soit 𝑛 ∈ ℕ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℂ).

On va montrer que exp(𝐴) = 𝐼𝑛, si et seulement si, 𝐴 est diagonalisable et 𝑆𝑝(𝐴) ⊂ 2𝑖𝜋ℤ.

Bilan : assez dense en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune