Leçon 109
Racines d'un polynôme à une indéterminée. Relations coefficients-racines. Applications.
CVA p. 20+
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 108 - 109 - 112 - 113 - 117 - 118 - 122 - 308 - 312 - 314 - 316 - 317 - 318 - 319
Mots-clefs : déterminants, système et Vandermonde, formes linéaires et polynômes, valeurs propres, th. Cayley-Hamilton.
Présentation : Soit 𝐴∈ℳ𝑛(ℂ). On montre la proposition : ∀𝑘∈⟦1,𝑛⟧, 𝑇𝑟(𝐴𝑘 ) = 0 ⇒ 𝐴 nilpotente. Ensuite, une application sur les espaces de matrices nilpotentes vient clore ce développement.
Bilan : complet et facilement restituable en 15 minutes.
Illustration : aucune
2024 Dev_Critère de Nilpotence par la trace (LD).pdfCVA p. 30+
Présenté par Louis-Dominique en 2024
Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319
Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation
Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.
Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucune.