Leçon 120
Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien. Applications.
Ketrane p. 217+, XALG3 2.27
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 115 - 117 - 118 - 120 - 121 - 123 - 308 - 309 - 312 - 316 - 318 - 320 - 321 - 327 - 432
Mots-clefs : Théorème spectral, factorisation de matrices, densité, compacité, diagonalisabilité, polynômes de Lagrange
Présentation : Montrer que si 𝐴∈𝐺𝐿𝑛(ℝ), alors ∃!(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛++, 𝐴=𝑂𝑆 puis montrer que si 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), alors ∃(𝑂,𝑆)∈𝑂𝑛(ℝ)×𝒮𝑛+, 𝐴=𝑂𝑆.
Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.
Illustration : Python
XALG3 1.26
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 110 - 112 - 116 - 120 - 126 - 313 - 319
Mots-clefs : théorème du rang, déterminant, matrice symétrique, orthogonalité et produit scalaire, espace préhilbertien réel.
Présentation : Après un lemme autour de A, équivalente à Mat(F) et symétrique positive, on utilise les matrices de Gram pour calculer la distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel engendré. Deux applications suivent pour illustrer.
Bilan : classique, efficace et facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : Python
2024 Dev_Matrice de Gram (LD).pdfAnalystan p. 159+, CVA p. 145+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 115 - 117 - 120 - 121 - 221 - 226 - 301 - 309 - 316 - 318 - 320 - 322 - 327 - 432
Mots-clefs : décomposition polaire, orthogonalité, compacité, valeurs propres, diagonalisation, norme matricielle, factorisation de matrices, linéarité et bilinéarité
Présentation : Tout en travaillant sur de la topologie et sur la décomposition polaire, il s'agit ici de démontrer une inégalité de distance d'une matrice à un fermé. On s'intéressera également au cas d'égalité.
Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.
Illustration : Python
Matrice orthogonale la plus proche (Julien).pdfLa matrice orthogonale la plus proche
CVA p. 115+
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 112 - 116 - 120 - 127 - 311 - 313 - 319 - 322
Mots-clefs : déterminant, formes quadratiques, rang et changements de bases, matrice symétrique réelle, classification, orthogonalité.
Présentation : Après démonstration d'un lemme faisant le lien entre définie positive et les mineurs principaux d'une matrice symétrique réelle, on calcule la signature de cette matrice.
Bilan : assez difficile en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucune
2024 Dev_Critères de Sylvester (LD).pdfCVA p. 122+ et 4+
Présenté par Louis-Dominique en 2024
Leçons : 120 - 126 - 127 - 311 - 312
Mots-clefs : forme polaire, forme quadratique, orthogonalité, dimension finie, compacité, hyperplans
Présentation : Soit 𝐸 un espace euclidien et 𝑞 une forme quadratique sur 𝐸. Alors, il existe une base orthonormée de 𝐸, orthogonale pour 𝑞. On montrera ensuite comme application que tout hyperplan de ℳ𝑛(ℝ) contient au moins une matrice orthogonale.
Bilan : Un développement assez théorique, mais essentiel pour l'écrit et utile pour l'oral avec l'application.
Illustration : aucune.