Leçon 301
Exercices sur les groupes.
Ketrane p. 200+, CVA p. 166+
Présenté par Sam en 2022
Leçons : 101 - 129 - 132 - 133 - 301 - 302 - 303 - 310 - 326 - 328 - 329
Mots-clefs : groupe, action de groupe, partitions, polygone, transformations du plan, formule de Burnside.
Présentation : On dispose d’un collier de perles composé de 4 bleues, 3 blanches et 2 roses. Combien de colliers différents peut-on faire ?
Bilan : très rentable mais difficile à maîtriser et à restituer en 15 minutes.
Illustration : Python
CVA p. 168+
Présenté par Rozenn en 2018
Leçons : 102 - 124 - 125 - 128 - 132 - 133 - 301 - 302 - 303 - 326 - 328 - 329
Mots-clefs : groupes, morphismes, transformations, convexité, permutations, extrêmalité.
Présentation : Etude des isométries de l'espace affine euclidien laissant un tétraèdre régulier invariant.
Bilan : très rentable mais difficile à restituer en 15 minutes (choix extrêmalité vs figures).
Illustration : aucune
CVA p. 151+, Skandalis p. 351+
Présenté par Louis-Dominique en 2023
Leçons : 125 - 132 - 301 - 303 - 323 - 325 - 326 - 432
Mots-clefs : coniques, différentielles, espace affine, transformations,
Présentation : . Soit T un triangle ABC d’un plan affine euclidien P et A’, B’, C’ les milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Montrer qu’il existe une unique ellipse de Steiner inscrite à T (c’est-à-dire tritangente en les 3 milieux).
Bilan : un développement rentable, qui peut aussi aller plus loin avec le travail sur les foyers de l'ellipse.
Illustration : Geogebra
CVA p. 166+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 101 - 102 - 103 - 104 - 128 - 129 - 132 - 133 - 301 - 302 - 303 - 310 - 326 - 328 - 329
Mots-clefs : groupe, action de groupe, permutations, structure quotient, formule de Burnside, isométrie.
Présentation : Soit 𝐾 un ensemble 𝑘 couleurs et 𝑃 un 𝑛 − gône de sommets 𝑆={𝑆1,…,𝑆𝑛} avec 𝑛 ≥ 3. Un 𝑛 − collier est une orbite de l’action de 𝐺, sous-groupe des rotations, sur ℱ(𝑆,𝐾) l’ensemble des coloriages de 𝑃. Combien a-t-on de 𝑛 − colliers ?
Bilan : très rentable mais difficile à maîtriser et à restituer en 15 minutes.
Illustration : Python
Coloriage (Julien).pdfAnalystan p. 159+, CVA p. 145+
Présenté par Julien en 2023
Leçons : 115 - 117 - 120 - 121 - 221 - 226 - 301 - 309 - 316 - 318 - 320 - 322 - 327 - 432
Mots-clefs : décomposition polaire, orthogonalité, compacité, valeurs propres, diagonalisation, norme matricielle, factorisation de matrices, linéarité et bilinéarité
Présentation : Tout en travaillant sur de la topologie et sur la décomposition polaire, il s'agit ici de démontrer une inégalité de distance d'une matrice à un fermé. On s'intéressera également au cas d'égalité.
Bilan : Un développement assez touffu et complet. Très rentable.
Illustration : Python
Matrice orthogonale la plus proche (Julien).pdfLa matrice orthogonale la plus proche
CVA p. 207+
Présenté par François en 2023
Leçons : 101 - 103 - 104 - 105 - 301 - 304 - 306
Mots-clefs : groupes, anneaux, morphismes, nombres premiers, structures quotient.
Présentation : Les groupes cycliques sont les "sous-groupes élémentaires" d'un groupe fini. On travaille ici un critère de cyclicité sur la valeur de n dans (Z/nZ)* à l'aide de l'arithmétique, de l'ordre d'un groupe et du Lemme chinois.
Bilan : technique, mais facilement restituable en 15 minutes.
Illustration : aucune
2024 Dev_Critère de cyclicité de (Z_nZ)x (François).pdfCVA p. 30+
Présenté par Louis-Dominique en 2024
Leçons : 108 - 109 - 112 - 117 - 118 - 119 - 121 - 123 - 131 - 301 - 309 - 311 - 312 - 316 - 318 - 319
Mots-clefs : relations coefficients-racines, valeurs propres, diagonalisation et trigonalisation
Présentation : Soit 𝒫 l’ensemble des polynômes unitaires 𝑃 de ℤ[𝑋] tels que toute racine 𝑧 de 𝑃 est de module |𝑧|≤1. Après avoir montré que l’ensemble 𝒫𝑛 des polynômes 𝒫 de degré 𝑛>0 est fini, on en déduit que si 𝑧 est racine de 𝒫𝑛, alors 𝑧=0 ou 𝑧 est racine de l’unité.
Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.
Illustration : aucune.