CVA p. 209+

Présenté par Louis-Dominique en 2023

Leçons : 103 - 104 - 105 - 107 - 304 - 305 - 306

Mots-clefs : th Fermat, indicatrice d'Euler, congruences, th. Chinois, partie entière.

Présentation : Expliciter le principe du codage RSA et démontrer que son fonctionnement. L'attaque de Fermat vient clore ce développement.

Bilan : très rentable, mais court, d'où l'attaque de Fermat ou l'attaque probabiliste.

Illustration : Python

XALG1 4.39

Présenté par Julien en 2023

Leçons : 101 - 103 - 104 - 105 - 304 - 305 - 306 - 307

Mots-clefs : corps fini, théorème de Lagrange, polynôme, racines, lemme de Gauss, théorème fondamental de l'arithmétique

Présentation : Soit 𝑝 un nombre premier impair tel que le nombre 𝑞 = 2𝑝 + 1 soit également premier. Montrons qu’il n’existe pas de triplet (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ ℤ³ vérifiant :

𝑥ᴾ + 𝑦ᴾ + 𝑧ᴾ = 0 et 𝑝 ne divise pas 𝑥𝑦𝑧

Bilan : assez technique en terme de contenu, mais plutôt facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucun

CVA p. 207+

Présenté par François en 2023

Leçons : 101 - 103 - 104 - 105 - 301 - 304 - 306 

Mots-clefs : groupes, anneaux, morphismes, nombres premiers, structures quotient.

Présentation : Les groupes cycliques sont les "sous-groupes élémentaires" d'un groupe fini. On travaille ici un critère de cyclicité sur la valeur de n  dans (Z/nZ)* à l'aide de l'arithmétique, de l'ordre d'un groupe et du Lemme chinois.

Bilan : technique, mais facilement restituable en 15 minutes.

Illustration : aucune

Gourdon p. 58+, Kieffer p. 54

Présenté par Louis-Dominique en 2024

Leçons : 103 - 105 - 107 - 108 - 304 - 305 - 306 - 307

Mots-clefs : irréductibilité et factorialité, polynômes, pgcd, nombres premiers, structure quotient

Présentation : Après avoir démontré le Lemme de Gauss pour des polynômes, on montre que si 𝑃 = Σ𝑎𝑖𝑋^𝑖∈ℤ[𝑋] tel qu’il existe 𝑝 premier ∀ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛−1, 𝑝|𝑎𝑘 et 𝑝∤𝑎𝑛 et 𝑝^2∤𝑎0 alors 𝑃 est irréductible dans ℚ[𝑋]. On termine par une application.

Bilan : Un développement assez technique, mais facile à restituer en 15 minutes.

Illustration : aucune.